โมดูล 2/5 · สัปดาห์ 4–6 · 27 ชม.

ตรีโกณมิติและมุมในการบิน

DRT 111 คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับเทคโนโลยี

เวลาเรียนประมาณ 80 นาทีร่าง รอตรวจปรับปรุงล่าสุด 26 กันยายน 2569

เมื่อเรียนจบโมดูลนี้ ผู้เรียนจะสามารถ

แปลงมุมระหว่างองศากับเรเดียนได้
ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและอัตราส่วน sin cos tan แก้ปัญหาสามเหลี่ยมมุมฉาก
หามุมทิศจากผลต่างพิกัดด้วยฟังก์ชัน atan2 ได้ถูกจตุภาค
คำนวณความกว้างพื้นที่ภาพและระยะสุ่มตัวอย่างภาคพื้นดิน (GSD) ของกล้องบนโดรน
แยกความเร็วลมออกเป็นองค์ประกอบลมปะทะหน้าและลมขวาง

ความรู้พื้นฐานที่ควรมี: DRT 111 โมดูล 1 (หน่วยวัดและการจัดรูปสมการ)

มุมอยู่ในทุกขั้นตอนของการบิน

โดรนไต่ระดับเป็นมุม กล้องมองลงพื้นด้วยมุมรับภาพค่าหนึ่ง ลมพัดเข้าหาเส้นทางบินในมุมเฉียง และนักบินบอกทิศทางเป็นมุมจากทิศเหนือ ทุกเรื่องนี้ใช้เครื่องมือเดียวกันคือ ตรีโกณมิติ ซึ่งศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างมุมกับความยาวด้านของสามเหลี่ยม

เมื่อจบโมดูลนี้ ผู้เรียนจะคำนวณได้ว่ากล้องที่ความสูง 100 m ถ่ายภาพครอบคลุมพื้นกว้างเท่าใด ซึ่งเป็นพื้นฐานของการวางแผนบินสำรวจในวิชา DRT 451 และ DRT 452

องศาและเรเดียน

เราวัดมุมได้สองหน่วย องศา แบ่งวงกลมเป็น 360 ส่วน ส่วน เรเดียน นิยามจากความยาวส่วนโค้ง มุม 1 เรเดียนคือมุมที่ทำให้ส่วนโค้งยาวเท่ารัศมีพอดี วงกลมหนึ่งรอบจึงเท่ากับ $2 π$ เรเดียน ความสัมพันธ์ที่ต้องจำคือ

18 0^{\circ} = π rad \Rightarrow θ_{rad} = θ_{deg} \times \frac{π}{180}

ตัวอย่าง $3 0^{\circ} = 30 \times π /180 = π /6 \approx 0.524$ rad

ทำไมต้องรู้เรเดียน เพราะซอฟต์แวร์เกือบทุกตัว ทั้ง Python, ออโตไพลอต PX4 และ ArduPilot คำนวณมุมภายในเป็นเรเดียน ถ้าส่งค่าองศาเข้าไปโดยไม่แปลง ผลลัพธ์จะผิดทั้งหมด

ระวัง

เครื่องคิดเลขมีโหมด DEG และ RAD ก่อนกด sin, cos หรือ tan ให้ตรวจโหมดทุกครั้ง $sin 30$ ในโหมด DEG ได้ 0.5 แต่ในโหมด RAD ได้ −0.988

สามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากมีมุมหนึ่งเท่ากับ $9 0^{\circ}$ ด้านที่อยู่ตรงข้ามมุมฉากยาวที่สุด เรียกว่า ด้านตรงข้ามมุมฉาก ( $c$ ) เมื่อเลือกมุม $θ$ หนึ่งมุมเป็นหลัก ด้านที่เหลือคือ ด้านตรงข้าม ( $a$ ) และ ด้านประชิด ( $b$ )

ทฤษฎีบทพีทาโกรัส

c^{2} = a^{2} + b^{2}

อัตราส่วนตรีโกณมิติ

sin θ = \frac{a}{c} cos θ = \frac{b}{c} tan θ = \frac{a}{b}

วิธีจำที่นิยมคือ “SOH-CAH-TOA” คือ Sine = Opposite/Hypotenuse, Cosine = Adjacent/Hypotenuse และ Tangent = Opposite/Adjacent

ถ้ารู้อัตราส่วนแล้วต้องการหามุม ให้ใช้ฟังก์ชันผกผัน เช่น ถ้า $tan θ = 0.5$ จะได้ $θ = tan^{- 1} (0.5) \approx 26. 6^{\circ}$

ตัวอย่างที่ 1 มุมไต่ระดับ

โดรนปีกตรึงบินไปข้างหน้า 300 m ในแนวราบ ระหว่างนั้นไต่ขึ้นสูง 100 m มุมไต่ระดับและระยะทางที่บินจริงเป็นเท่าใด

มุมไต่ระดับ: $θ = tan^{- 1} \frac{100}{300} = tan^{- 1} (0.333) \approx 18. 4^{\circ}$
ระยะที่บินจริง: $c = 30 0^{2} + 10 0^{2} = 100000 \approx 316.2$ m

มุมทิศและฟังก์ชัน atan2

ในการนำทาง เราบอกทิศทางเป็น มุมทิศ (heading หรือ bearing) วัดจากทิศเหนือตามเข็มนาฬิกา ทิศเหนือเป็น $0^{\circ}$ ทิศตะวันออก $9 0^{\circ}$ ทิศใต้ $18 0^{\circ}$ และทิศตะวันตก $27 0^{\circ}$

ถ้าเป้าหมายอยู่ทางทิศเหนือของเรา $Δ N$ เมตร และทางทิศตะวันออก $Δ E$ เมตร มุมทิศไปหาเป้าหมายคือ

ψ = atan2 (Δ E, Δ N)

ทำไมไม่ใช้ $tan^{- 1} (Δ E /Δ N)$ ธรรมดา เพราะเมื่อหารกันแล้ว เครื่องหมายบวกลบของแต่ละค่าหายไป ทำให้แยกไม่ออกว่าเป้าหมายอยู่ทิศตะวันออกเฉียงเหนือหรือตะวันตกเฉียงใต้ ฟังก์ชัน atan2 รับค่าสองค่าแยกกัน จึงให้มุมที่ถูกจตุภาคเสมอ

ตัวอย่างที่ 2 มุมทิศไปยัง waypoint

waypoint อยู่ทางทิศใต้ 100 m ( $Δ N = - 100$ ) และทางทิศตะวันออก 100 m ( $Δ E = 100$ )

ถ้าใช้ $tan^{- 1} (100/ - 100) = tan^{- 1} (- 1) = - 4 5^{\circ}$ ซึ่งชี้ไปทางตะวันตกเฉียงเหนือ ผิด
ถ้าใช้ $atan2 (100, - 100) = 13 5^{\circ}$ คือทิศตะวันออกเฉียงใต้ ถูกต้อง

ใน Python เขียนได้ว่า math.degrees(math.atan2(dE, dN)) % 360

ความกว้างพื้นที่ภาพและ GSD

เมื่อกล้องมองตรงลงพื้นจากความสูง $h$ ด้วยมุมรับภาพ (field of view หรือ FOV) ค่าหนึ่ง พื้นที่ที่ถ่ายได้จะเป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว ซึ่งแบ่งครึ่งได้เป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองรูป

กล้องอยู่สูง h มองลงพื้นด้วยมุม FOV ครอบคลุมความกว้าง W บนพื้น — ภาพที่ 2 กล้องที่ความสูง h กับความกว้างพื้นที่ภาพ W

ในสามเหลี่ยมมุมฉากครึ่งหนึ่ง ด้านประชิดคือ $h$ และด้านตรงข้ามคือ $W /2$ ดังนั้น $tan (FOV /2) = \frac{W /2}{h}$ จัดรูปได้

W = 2 h tan \frac{FOV}{2}

ระยะสุ่มตัวอย่างภาคพื้นดิน (Ground Sampling Distance หรือ GSD) คือขนาดพื้นที่จริงที่หนึ่งพิกเซลครอบคลุม หาได้จากความกว้างพื้นที่ภาพหารด้วยจำนวนพิกเซลตามแนวเดียวกัน

GSD = \frac{W}{N _{px}}

ตัวอย่างที่ 3 วางแผนบินสำรวจ

กล้องมี FOV แนวนอน $8 4^{\circ}$ ภาพกว้าง 5472 พิกเซล บินที่ความสูง 100 m

$W = 2 \times 100 \times tan 4 2^{\circ} = 200 \times 0.9004 \approx 180.1$ m
$GSD = 180.1 m \div 5472 \approx 0.0329$ m หรือประมาณ 3.3 cm/พิกเซล

ถ้าลดความสูงเหลือ 50 m ทั้ง $W$ และ GSD จะลดลงครึ่งหนึ่ง ภาพละเอียดขึ้นแต่ต้องบินหลายแนวขึ้น นี่คือการแลกเปลี่ยนพื้นฐานของงานทำแผนที่

การแยกองค์ประกอบของลม

ลมที่พัดเฉียงเข้าหาเส้นทางบินส่งผลสองทาง ส่วนที่ขนานกับเส้นทางบินเรียกว่า ลมปะทะหน้า (headwind) ทำให้ความเร็วเทียบพื้นลดลง ส่วนที่ตั้งฉากเรียกว่า ลมขวาง (crosswind) ผลักโดรนให้เบี่ยงออกด้านข้าง

เวกเตอร์ลม V ทำมุม theta กับทิศทางบิน แยกเป็น V cos theta ตามทิศทางบิน และ V sin theta ตั้งฉาก — ภาพที่ 3 องค์ประกอบของลมตามแนวบินและตั้งฉากกับแนวบิน

V_{head} = V cos θ V_{cross} = V sin θ

ตัวอย่างที่ 4 ลมเฉียง 30 องศา

ลมแรง 8 m/s พัดเข้าหาหัวโดรนทำมุม $3 0^{\circ}$ กับแนวบิน

ลมปะทะหน้า $8 cos 3 0^{\circ} = 8 \times 0.866 \approx 6.9$ m/s
ลมขวาง $8 sin 3 0^{\circ} = 8 \times 0.5 = 4.0$ m/s

ถ้าโดรนบินด้วยความเร็วอากาศ 15 m/s ความเร็วเทียบพื้นจะเหลือประมาณ $15 - 6.9 = 8.1$ m/s ซึ่งทำให้เวลาบินในเที่ยวขาไปนานขึ้นเกือบเท่าตัว ในโมดูลถัดไปเราจะคำนวณเรื่องนี้ให้แม่นยำขึ้นด้วยเวกเตอร์

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ระวัง

ลืมตรวจโหมดเครื่องคิดเลข DEG กับ RAD
ใช้ FOV เต็มแทนครึ่งหนึ่ง สูตรพื้นที่ภาพต้องใช้ $tan (FOV /2)$
ใช้ $tan^{- 1}$ หามุมทิศ ให้ใช้ atan2 เสมอเพื่อให้ได้จตุภาคที่ถูก
สลับ sin กับ cos ให้ตั้งชื่อด้านเทียบกับมุมที่สนใจก่อนทุกครั้ง

สรุป

$18 0^{\circ} = π$ rad ซอฟต์แวร์คำนวณมุมเป็นเรเดียน
สามเหลี่ยมมุมฉากใช้พีทาโกรัสและอัตราส่วน sin, cos, tan
มุมทิศวัดจากทิศเหนือตามเข็มนาฬิกา หาได้ด้วย atan2(ΔE, ΔN)
ความกว้างพื้นที่ภาพ $W = 2 h tan (FOV /2)$ และ GSD คือ $W$ หารด้วยจำนวนพิกเซล
ลมเฉียงแยกเป็นลมปะทะหน้า $V cos θ$ และลมขวาง $V sin θ$

แบบฝึกตรวจความเข้าใจ

แปลง $4 5^{\circ}$ และ $12 0^{\circ}$ เป็นเรเดียน
โดรนอยู่ห่างผู้บังคับในแนวราบ 400 m และสูง 120 m ระยะทางตรงถึงโดรนเท่าใด
เป้าหมายอยู่ทางทิศใต้ 50 m และทิศตะวันตก 50 m มุมทิศเท่าใด
กล้อง FOV $7 0^{\circ}$ บินที่ 60 m ความกว้างพื้นที่ภาพเท่าใด
ลม 10 m/s ทำมุม $6 0^{\circ}$ กับแนวบิน ลมขวางเท่าใด

เฉลย

$4 5^{\circ} = π /4 \approx 0.785$ rad และ $12 0^{\circ} = 2 π /3 \approx 2.094$ rad
$40 0^{2} + 12 0^{2} = 174400 \approx 417.6$ m
$atan2 (- 50, - 50) = - 13 5^{\circ}$ บวก $36 0^{\circ}$ ได้ $22 5^{\circ}$ (ตะวันตกเฉียงใต้)
$W = 2 \times 60 \times tan 3 5^{\circ} = 120 \times 0.700 \approx 84.0$ m
$10 sin 6 0^{\circ} \approx 8.66$ m/s

สรุปสูตรสำคัญ

องศาเป็นเรเดียน	$θ_{rad} = θ_{deg} \times \frac{π}{180}$
พีทาโกรัส	$c^{2} = a^{2} + b^{2}$
อัตราส่วนตรีโกณมิติ	$sin θ = \frac{a}{c}, cos θ = \frac{b}{c}, tan θ = \frac{a}{b}$
มุมทิศจากผลต่างพิกัด	$ψ = atan2 (Δ E, Δ N)$
ความกว้างพื้นที่ภาพ	$W = 2 h tan \frac{FOV}{2}$
GSD	$GSD = \frac{W}{N _{px}}$
องค์ประกอบลม	$V_{head} = V cos θ, V_{cross} = V sin θ$

แหล่งอ้างอิงหลัก

Abramson, J. (2021). Algebra and trigonometry (2nd ed.). OpenStax. link
Stroud, K. A., & Booth, D. J. (2020). Engineering mathematics (8th ed.). Bloomsbury.
Wolf, P. R., Dewitt, B. A., & Wilkinson, B. E. (2014). Elements of photogrammetry with applications in GIS (4th ed.). McGraw-Hill.