โมดูล 1/5 · สัปดาห์ 1–3 · 27 ชม.

พีชคณิต ฟังก์ชัน และหน่วยวัด

DRT 111 คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับเทคโนโลยี

เวลาเรียนประมาณ 75 นาทีร่าง รอตรวจปรับปรุงล่าสุด 26 กันยายน 2569

เมื่อเรียนจบโมดูลนี้ ผู้เรียนจะสามารถ

บอกหน่วย SI และคำนำหน้าหน่วยที่ใช้บ่อยในงานโดรน และเขียนจำนวนในรูปสัญกรณ์วิทยาศาสตร์ได้
แปลงหน่วยความเร็ว ความจุแบตเตอรี่ และพลังงานได้อย่างถูกต้องด้วยวิธีตัดหน่วย
จัดรูปสมการเพื่อหาตัวแปรที่ต้องการ
อธิบายและใช้ฟังก์ชันเชิงเส้น กำลังสอง แปรผกผัน และลอการิทึมกับสถานการณ์จริง
ประมาณเวลาลอยตัวของโดรนจากข้อมูลแบตเตอรี่และกำลังไฟฟ้า

ความรู้พื้นฐานที่ควรมี: คณิตศาสตร์ระดับมัธยมปลาย (การบวก ลบ คูณ หาร เศษส่วน และเลขยกกำลัง)

ทำไมวิศวกรโดรนต้องแม่นเรื่องตัวเลขและหน่วย

ลองนึกถึงสถานการณ์นี้ คุณได้รับมอบหมายให้บินสำรวจแปลงเกษตรขนาด 50 ไร่ ก่อนออกบินต้องตอบคำถามสามข้อ ได้แก่ แบตเตอรี่หนึ่งก้อนบินได้นานเท่าไร ความเร็วที่ตั้งไว้ในแอปคิดเป็นกี่เมตรต่อวินาที และถ้าเพิ่มความเร็วรอบใบพัดขึ้นอีกเล็กน้อย แรงยกจะเพิ่มขึ้นเท่าไร

ทั้งสามคำถามใช้คณิตศาสตร์พื้นฐานเพียงสามเรื่อง คือ หน่วยวัด การจัดรูปสมการ และฟังก์ชัน โมดูลนี้จะทบทวนทั้งสามเรื่องโดยใช้ตัวอย่างจากงานโดรนจริงตลอดบท ผู้เรียนที่ไม่ได้ใช้คณิตศาสตร์มานานก็ตามได้ ขอให้ทำตัวอย่างไปพร้อมกันทีละขั้น

แนวคิดสำคัญ

ตัวเลขที่ไม่มีหน่วยไม่มีความหมายในงานวิศวกรรม “ความเร็ว 15” อาจหมายถึง 15 m/s หรือ 15 km/h ซึ่งต่างกันถึง 3.6 เท่า ความผิดพลาดแบบนี้ทำให้ภารกิจล้มเหลวหรือเกิดอุบัติเหตุได้

ปริมาณ หน่วย SI และคำนำหน้าหน่วย

ปริมาณ (quantity) คือสิ่งที่วัดได้ เช่น ความยาว เวลา มวล ค่าของปริมาณหนึ่งประกอบด้วยตัวเลขกับหน่วยเสมอ เช่น 2.5 kg

ทั่วโลกใช้ ระบบหน่วยระหว่างประเทศ หรือ SI ซึ่งสำนักงานชั่งตวงวัดระหว่างประเทศ (BIPM) เป็นผู้กำหนด ระบบนี้มีหน่วยฐาน 7 หน่วย ในงานโดรนเราใช้บ่อยห้าหน่วย

ปริมาณ	หน่วยฐาน	สัญลักษณ์
ความยาว	เมตร	m
มวล	กิโลกรัม	kg
เวลา	วินาที	s
กระแสไฟฟ้า	แอมแปร์	A
อุณหภูมิ	เคลวิน	K

หน่วยอื่นสร้างจากหน่วยฐาน เรียกว่า หน่วยอนุพัทธ์ เช่น แรงมีหน่วยนิวตัน ( $1 N = 1 kg\cdotm/s^{2}$ ) กำลังมีหน่วยวัตต์ ( $1 W = 1 J/s$ ) และแรงดันไฟฟ้ามีหน่วยโวลต์ (V)

คำนำหน้าหน่วย

เมื่อค่ามีขนาดใหญ่หรือเล็กมาก เราใช้คำนำหน้าหน่วยแทนการเขียนเลขศูนย์ยาว ๆ

คำนำหน้า	สัญลักษณ์	ตัวคูณ	ตัวอย่างในงานโดรน
เมกะ	M	$1 0^{6}$	ความถี่ 915 MHz
กิโล	k	$1 0^{3}$	ระยะบิน 5 km
มิลลิ	m	$1 0^{- 3}$	ความจุ 5000 mAh
ไมโคร	µ	$1 0^{- 6}$	ตัวเก็บประจุ 100 µF
กิกะ	G	$1 0^{9}$	สัญญาณวิดีโอ 5.8 GHz

ระวังตัวพิมพ์เล็กกับตัวพิมพ์ใหญ่ ตัว m เล็กคือมิลลิ ( $1 0^{- 3}$ ) แต่ M ใหญ่คือเมกะ ( $1 0^{6}$ ) ต่างกันถึงพันล้านเท่า

สัญกรณ์วิทยาศาสตร์

สัญกรณ์วิทยาศาสตร์เขียนจำนวนในรูป $a \times 1 0^{n}$ โดย $1 \leq a < 10$ และ $n$ เป็นจำนวนเต็ม ช่วยให้อ่านจำนวนที่ใหญ่หรือเล็กมากได้ง่ายขึ้น

0.000 012 = 1.2 \times 1 0^{- 5} 6378137 = 6.378 137 \times 1 0^{6}

วิธีจำง่าย ๆ คือ ถ้าเลื่อนจุดทศนิยมไปทางซ้าย $n$ ตำแหน่ง เลขชี้กำลังจะเป็น $+ n$ ถ้าเลื่อนไปทางขวา $n$ ตำแหน่ง เลขชี้กำลังจะเป็น $- n$

การแปลงหน่วยด้วยวิธีตัดหน่วย

วิธีที่ปลอดภัยที่สุดคือ วิธีตัดหน่วย (factor-label method) ให้คูณด้วยเศษส่วนที่มีค่าเท่ากับ 1 เช่น $\frac{1000 m}{1 km}$ แล้วตัดหน่วยที่อยู่ทั้งเศษและส่วนออก

แผนภาพการแปลง 54 km/h เป็น 15 m/s โดยคูณ 1000 และหาร 3600 — ภาพที่ 1 การแปลง km/h เป็น m/s ทีละขั้น

ตัวอย่างที่ 1 แปลงความเร็ว

แอปควบคุมโดรนแสดงความเร็ว 54 km/h คิดเป็นกี่ m/s

54 \frac{km}{h} \times \frac{1000 m}{1 km} \times \frac{1 h}{3600 s} = \frac{54 000}{3600} \frac{m}{s} = 15 m/s

เนื่องจาก $1000 \div 3600 = 1/3.6$ จึงจำเป็นทางลัดได้ว่า km/h หารด้วย 3.6 จะได้ m/s และ m/s คูณ 3.6 จะได้ km/h

หน่วยของแบตเตอรี่: mAh, Ah และ Wh

ฉลากแบตเตอรี่ LiPo มักบอก ความจุประจุ เป็น mAh (มิลลิแอมแปร์-ชั่วโมง) เช่น 5000 mAh หมายความว่าจ่ายกระแส 5 A ได้ต่อเนื่องประมาณ 1 ชั่วโมง แต่ตัวเลขนี้ยังไม่ใช่พลังงาน เพราะยังไม่ได้รวมแรงดันไฟฟ้า

พลังงาน ที่เก็บในแบตเตอรี่มีหน่วยวัตต์-ชั่วโมง (Wh) หาได้จาก

E_{Wh} = V \times C_{Ah}

โดย $V$ คือแรงดันระบุของแบตเตอรี่ และ $C_{Ah}$ คือความจุเป็นแอมแปร์-ชั่วโมง แบตเตอรี่ LiPo หนึ่งเซลล์มีแรงดันระบุ 3.7 V แบตเตอรี่ 4S คือสี่เซลล์ต่ออนุกรม จึงมีแรงดันระบุ $4 \times 3.7 = 14.8$ V

ตัวอย่างที่ 2 พลังงานในแบตเตอรี่

แบตเตอรี่ 4S ความจุ 5000 mAh มีพลังงานเท่าใด

แปลงความจุ: $5000 mAh = 5000 \times 1 0^{- 3} Ah = 5 Ah$
คำนวณพลังงาน: $E = 14.8 V \times 5 Ah = 74 Wh$

ค่า Wh นี้สำคัญในทางปฏิบัติ เพราะสายการบินจำกัดการนำแบตเตอรี่ลิเธียมขึ้นเครื่องตามค่า Wh ไม่ใช่ mAh

สมการและการจัดรูปสูตร

สูตรทุกสูตรคือสมการ เราจัดรูปได้โดยทำสิ่งเดียวกันกับ ทั้งสองข้าง ของเครื่องหมายเท่ากับ เป้าหมายคือให้ตัวแปรที่ต้องการอยู่ข้างหนึ่งตามลำพัง

ตัวอย่างที่ 3 หากระแสจากกำลังไฟฟ้า

สูตรกำลังไฟฟ้าคือ $P = V I$ ถ้ามอเตอร์ทั้งหมดใช้กำลัง 444 W จากแบตเตอรี่ 22.2 V กระแสรวมเป็นเท่าใด

หารทั้งสองข้างด้วย $V$

\frac{P}{V} = \frac{V I}{V} \Rightarrow I = \frac{P}{V} = \frac{444 W}{22.2 V} = 20 A

ตรวจหน่วยด้วยเสมอ วัตต์หารด้วยโวลต์ได้แอมแปร์ ( $W/V = A$ ) ถ้าหน่วยออกมาไม่ใช่สิ่งที่ต้องการ แปลว่าจัดรูปผิด

การตรวจหน่วย (dimensional check)

ก่อนแทนตัวเลข ให้ตรวจว่าหน่วยของทั้งสองข้างสมการตรงกัน วิธีนี้ช่วยจับข้อผิดพลาดได้เกือบทุกครั้ง เช่น ถ้าเขียน $t = P / E$ หน่วยจะเป็น $W / Wh = 1/ h$ ซึ่งไม่ใช่หน่วยของเวลา จึงรู้ทันทีว่าสูตรกลับด้าน ที่ถูกคือ $t = E / P$

ฟังก์ชัน: ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณ

ฟังก์ชัน คือกฎที่จับคู่ค่าขาเข้าหนึ่งค่า ( $x$ ) กับค่าขาออกเพียงหนึ่งค่า ( $y$ ) เขียนเป็น $y = f (x)$ เปรียบเหมือนเครื่องชงกาแฟ ใส่เมล็ดกาแฟชนิดหนึ่งเข้าไป ได้กาแฟรสชาติเดียวออกมาเสมอ

ในงานโดรนมีฟังก์ชันสี่แบบที่พบบ่อย ภาพที่ 2 แสดงรูปร่างกราฟสามแบบแรก

กราฟสามแบบ: เชิงเส้นเป็นเส้นตรง กำลังสองโค้งขึ้น แปรผกผันลดลงเข้าหาศูนย์ — ภาพที่ 2 รูปร่างของฟังก์ชันเชิงเส้น กำลังสอง และแปรผกผัน

ฟังก์ชันเชิงเส้น

ฟังก์ชันเชิงเส้นเขียนได้ว่า $y = m x + b$ โดย $m$ คือ ความชัน หรืออัตราการเปลี่ยนแปลง และ $b$ คือค่าเริ่มต้นเมื่อ $x = 0$

ตัวอย่างที่ 4 การไต่ระดับ

โดรนลอยอยู่ที่ความสูง 10 m แล้วไต่ระดับด้วยอัตรา 2.5 m/s ความสูงเป็นฟังก์ชันของเวลาได้ว่า

h (t) = 2.5 t + 10

ถ้าต้องการขึ้นไปที่ 100 m ใช้เวลาเท่าใด ให้แก้สมการ $2.5 t + 10 = 100$ จะได้ $2.5 t = 90$ ดังนั้น $t = 36$ วินาที

ฟังก์ชันกำลังสอง

แรงขับของใบพัดแปรผันตามกำลังสองของความเร็วรอบโดยประมาณ

T = k n^{2}

โดย $T$ คือแรงขับ $n$ คือความเร็วรอบ และ $k$ คือค่าคงที่ที่ขึ้นกับใบพัดและความหนาแน่นอากาศ ความสัมพันธ์แบบนี้มีผลในทางปฏิบัติ คือเพิ่มความเร็วรอบเพียงเล็กน้อย แรงขับจะเพิ่มมากกว่าที่คาด

ตัวอย่างที่ 5 เพิ่มรอบ 20%

ถ้าความเร็วรอบเพิ่มจาก $n$ เป็น $1.2 n$ แรงขับใหม่คือ

T^{'} = k (1.2 n)^{2} = 1.44 k n^{2} = 1.44 T

แรงขับเพิ่มขึ้น 44% ไม่ใช่ 20%

ฟังก์ชันแปรผกผัน

ถ้าพลังงานในแบตเตอรี่คงที่ เวลาใช้งานจะแปรผกผันกับกำลังที่ใช้ คือ $t = E / P$ ใช้กำลังมากขึ้นสองเท่า เวลาบินจะเหลือครึ่งเดียว กราฟจึงลดลงอย่างรวดเร็วในช่วงแรกแล้วค่อย ๆ ลาดลง

ฟังก์ชันลอการิทึมและหน่วยเดซิเบล

สัญญาณวิทยุมีกำลังต่างกันหลายเท่าตัว นักสื่อสารจึงใช้ เดซิเบล (dB) ซึ่งเป็นสเกลลอการิทึม

L_{dB} = 10 lo g_{10} \frac{P _{2}}{P _{1}}

ถ้ากำลังสัญญาณลดลงครึ่งหนึ่ง จะได้ $10 lo g_{10} (0.5) \approx - 3$ dB เราจะใช้ความรู้นี้อีกครั้งเมื่อคำนวณ link budget ในวิชา DRT 227

ตัวอย่างรวม: ประมาณเวลาลอยตัว

ตอนนี้เรามีเครื่องมือครบที่จะตอบคำถามแรกของบทแล้ว

ขั้นตอนจากแบตเตอรี่ 14.8 V 5 Ah เป็นพลังงาน 74 Wh ใช้ได้ 80% คือ 59.2 Wh แล้วหารด้วย 300 W ได้ประมาณ 11.8 นาที — ภาพที่ 3 ขั้นตอนประมาณเวลาลอยตัว

ตัวอย่างที่ 6 เวลาลอยตัว

โดรนใช้แบตเตอรี่ 4S 5000 mAh ขณะลอยตัวใช้กำลังเฉลี่ย 300 W และเพื่อถนอมแบตเตอรี่ เราใช้พลังงานเพียง 80% ( $η = 0.8$ )

พลังงานทั้งหมด $E = 14.8 \times 5 = 74$ Wh
พลังงานที่ใช้ได้ $η E = 0.8 \times 74 = 59.2$ Wh
เวลา $t = \frac{59.2 Wh}{300 W} = 0.197 h$
แปลงเป็นนาที $0.197 \times 60 \approx 11.8$ นาที

ค่านี้เป็นค่าประมาณ ในสภาพจริง ลม อุณหภูมิ และอายุแบตเตอรี่จะทำให้เวลาบินสั้นลง นักบินจึงต้องเผื่อระยะสำรองเสมอ

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ระวัง

สับสน mAh กับ Wh ความจุประจุ (mAh) กับพลังงาน (Wh) เป็นคนละปริมาณ ต้องคูณแรงดันก่อนจึงจะเปรียบเทียบพลังงานได้
ลืมแปลง mAh เป็น Ah ทำให้คำตอบคลาดไป 1000 เท่า
ใช้ m กับ M สลับกัน มิลลิกับเมกะต่างกัน $1 0^{9}$ เท่า
คิดว่าทุกอย่างเป็นเส้นตรง แรงขับเพิ่มตามกำลังสองของรอบ ไม่ได้เพิ่มเป็นสัดส่วนตรง
ไม่ตรวจหน่วยของคำตอบ ทุกคำตอบต้องมีหน่วย และหน่วยต้องสมเหตุสมผล

สรุป

ค่าของปริมาณประกอบด้วยตัวเลขกับหน่วยเสมอ งานโดรนใช้หน่วย SI และคำนำหน้าหน่วยอย่าง k, M, m, µ
วิธีตัดหน่วยช่วยให้แปลงหน่วยได้ถูกต้อง ทางลัดที่ใช้บ่อยคือ km/h ÷ 3.6 = m/s
พลังงานแบตเตอรี่ (Wh) เท่ากับแรงดันคูณความจุเป็น Ah
จัดรูปสมการโดยทำสิ่งเดียวกันทั้งสองข้าง แล้วตรวจหน่วยของคำตอบ
ฟังก์ชันเชิงเส้น กำลังสอง แปรผกผัน และลอการิทึม อธิบายความสัมพันธ์สำคัญในงานโดรน ตั้งแต่การไต่ระดับ แรงขับ เวลาบิน จนถึงกำลังสัญญาณ

แบบฝึกตรวจความเข้าใจ

ลองทำก่อนเปิดดูเฉลย

ความเร็ว 20 m/s คิดเป็นกี่ km/h
แบตเตอรี่ 6S (22.2 V) ความจุ 10 000 mAh มีพลังงานกี่ Wh
จัดรูป $E = V \times C$ เพื่อหา $C$ แล้วหาความจุของแบตเตอรี่ 14.8 V ที่มีพลังงาน 96.2 Wh
ถ้าเพิ่มความเร็วรอบใบพัด 10% แรงขับเพิ่มขึ้นกี่เปอร์เซ็นต์
กำลังสัญญาณลดลงเหลือหนึ่งในสี่ คิดเป็นกี่ dB

เฉลย

$20 \times 3.6 = 72$ km/h
$22.2 \times 10 = 222$ Wh
$C = E / V = 96.2/14.8 = 6.5$ Ah หรือ 6500 mAh
$(1.1)^{2} = 1.21$ แรงขับเพิ่มขึ้น 21%
$10 lo g_{10} (0.25) \approx - 6$ dB

สรุปสูตรสำคัญ

ความเร็ว	$v = \frac{d}{t}$
แปลง km/h เป็น m/s	$v_{m/s} = \frac{v _{km/h}}{3.6}$
กำลังไฟฟ้า	$P = V I$
พลังงานแบตเตอรี่	$E_{Wh} = V \times C_{Ah}$
เวลาใช้งานโดยประมาณ	$t = \frac{η E}{P}$
ฟังก์ชันเชิงเส้น	$y = m x + b$
เดซิเบล	$L_{dB} = 10 lo g_{10} \frac{P _{2}}{P _{1}}$

แหล่งอ้างอิงหลัก

Bureau International des Poids et Mesures. (2026). The International System of Units (SI) (9th ed., v4.01) [Brochure]. link
Abramson, J. (2021). Algebra and trigonometry (2nd ed.). OpenStax. link
Stroud, K. A., & Booth, D. J. (2020). Engineering mathematics (8th ed.). Bloomsbury.

อ่านเพิ่มเติม

ศึกษาหน่วยความรู้ที่กำหนดล่วงหน้า ดูสื่อประกอบ และทำ quiz ประจำโมดูล

อยู่ระหว่างพัฒนาD01

อนุพันธ์ อัตราการเปลี่ยนแปลง และการอินทิเกรตเชิงตัวเลข

อนุพันธ์ของตำแหน่ง ความเร็ว ความเร่ง การอินทิเกรตเชิงตัวเลขสำหรับข้อมูลเซนเซอร์

พร้อมใช้D06

แบบฝึกพิกัด เวลา และระดับอ้างอิง

คำนวณจากข้อมูลสมมติด้วย Python หรือเครื่องคิดเลข แล้วตรวจเฉลยที่แยกหน่วยชัดเจน

ในชั้นเรียน / ภาคสนาม

บรรยาย อภิปรายกรณีศึกษา และแก้โจทย์ในชั้นเรียน

หลักฐานการเรียนรู้: ผล quiz และแบบฝึกหัดที่ส่ง

แบบทดสอบประจำโมดูล

แบบทดสอบนี้ใช้ตรวจความเข้าใจ (formative) ไม่ใช่การสอบเก็บคะแนน

โดเมนความรู้: คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และสถิติ · การควบคุม ออโตไพลอต และการนำทาง