โมดูล 3/5 · สัปดาห์ 7–9 · 27 ชม.

เวกเตอร์และเมทริกซ์

DRT 111 คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับเทคโนโลยี

เวลาเรียนประมาณ 85 นาทีร่าง รอตรวจปรับปรุงล่าสุด 26 กันยายน 2569

เมื่อเรียนจบโมดูลนี้ ผู้เรียนจะสามารถ

แยกปริมาณสเกลาร์กับปริมาณเวกเตอร์ และเขียนเวกเตอร์ในรูปองค์ประกอบได้
บวกเวกเตอร์ความเร็วเพื่อหาความเร็วเทียบพื้นเมื่อมีลม
ใช้ผลคูณจุดหามุมระหว่างเวกเตอร์และองค์ประกอบตามแนว
ใช้ผลคูณไขว้หาโมเมนต์ที่เกิดจากแรงขับของใบพัด
คูณเมทริกซ์ หาดีเทอร์มิแนนต์ และแก้ระบบสมการเชิงเส้นขนาด 2×2

ความรู้พื้นฐานที่ควรมี: DRT 111 โมดูล 2 (ตรีโกณมิติและ atan2)

ปริมาณที่ต้องบอกทั้งขนาดและทิศทาง

ถ้าบอกว่า “ลมแรง 5 m/s” ข้อมูลยังไม่ครบ เพราะลมที่พัดจากด้านหน้ากับลมที่พัดจากด้านหลังส่งผลต่อโดรนตรงข้ามกัน ปริมาณที่ต้องบอกทั้ง ขนาด และ ทิศทาง เรียกว่า เวกเตอร์ ส่วนปริมาณที่บอกขนาดอย่างเดียว เช่น มวล อุณหภูมิ และเวลา เรียกว่า สเกลาร์

ในงานโดรน ความเร็ว ความเร่ง แรง ลม และตำแหน่ง ล้วนเป็นเวกเตอร์ ออโตไพลอตทุกตัวจึงคำนวณด้วยเวกเตอร์และเมทริกซ์ตลอดเวลา โมดูลนี้ปูพื้นฐานที่ใช้ต่อในโมดูล 4 และในวิชาระบบควบคุม DRT 226

เวกเตอร์ในรูปองค์ประกอบ

เราเขียนเวกเตอร์ด้วยตัวหนาหรือมีลูกศรบน เช่น $v$ หรือ $v$ และเขียนในรูป องค์ประกอบ ตามแกนต่าง ๆ ในกรอบพิกัดเหนือ-ตะวันออก-ลง (NED) ที่จะอธิบายละเอียดในโมดูล 4 ความเร็วของโดรนเขียนได้ว่า

v = v_{N} v_{E} v_{D}

ขนาด ของเวกเตอร์หาได้จากทฤษฎีบทพีทาโกรัสในสามมิติ

∥ v ∥ = v_{N}^{2} + v_{E}^{2} + v_{D}^{2}

เวกเตอร์หนึ่งหน่วย คือเวกเตอร์ที่มีขนาดเท่ากับ 1 ใช้บอกทิศทางอย่างเดียว หาได้โดยหารเวกเตอร์ด้วยขนาดของมันเอง $\hat{v} = v / ∥ v ∥$

การบวกเวกเตอร์: ความเร็วอากาศกับลม

โดรนเคลื่อนที่ผ่านอากาศด้วย ความเร็วอากาศ $v_{a}$ ขณะเดียวกันอากาศทั้งก้อนก็เคลื่อนที่ไปด้วยความเร็วลม $w$ ความเร็วที่โดรนเคลื่อนที่เทียบกับพื้นดินจึงเป็นผลบวกของทั้งสอง

v_{g} = v_{a} + w

การบวกเวกเตอร์ทำได้โดยบวกองค์ประกอบที่ตรงกัน หรือวาดแบบหัวต่อหาง ดังภาพที่ 1

เวกเตอร์ความเร็วอากาศต่อหัวกับเวกเตอร์ลม ผลรวมคือเวกเตอร์ความเร็วเทียบพื้น — ภาพที่ 1 ความเร็วเทียบพื้นเกิดจากความเร็วอากาศบวกความเร็วลม

ตัวอย่างที่ 1 ลมขวางทำให้เส้นทางเบี่ยง

โดรนหันหัวไปทางทิศเหนือ บินด้วยความเร็วอากาศ 12 m/s ลมพัดไปทางทิศตะวันออก 5 m/s (เขียนเฉพาะแกน N, E)

v_{a} = [120], w = [05] \Rightarrow v_{g} = [125]

ความเร็วเทียบพื้น $∥ v_{g} ∥ = 1 2^{2} + 5^{2} = 13$ m/s
ทิศทางการเคลื่อนที่จริง (track) $= atan2 (5, 12) \approx 22. 6^{\circ}$

แม้หัวโดรนชี้ไปทิศเหนือ แต่โดรนจริง ๆ เคลื่อนที่เฉียงไปทางตะวันออก $22. 6^{\circ}$ ออโตไพลอตจึงต้องหันหัวทวนลมเล็กน้อยเพื่อให้เคลื่อนที่ตามเส้นทางที่วางไว้

การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ คือการคูณทุกองค์ประกอบด้วยจำนวนนั้น เช่น $2 v$ มีทิศเดิมแต่ยาวขึ้นสองเท่า

ผลคูณจุด

ผลคูณจุด (dot product) ของเวกเตอร์สองตัวได้ผลลัพธ์เป็นสเกลาร์ คำนวณได้สองวิธีที่ให้ผลเท่ากัน

a \cdot b = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z} = ∥ a ∥ ∥ b ∥ cos θ

โดย $θ$ คือมุมระหว่างเวกเตอร์ทั้งสอง ผลคูณจุดจึงใช้งานได้สองแบบ

หามุมระหว่างเวกเตอร์ $cos θ = \frac{a \cdot b}{∥ a ∥ ∥ b ∥}$
หาองค์ประกอบตามแนวใดแนวหนึ่ง ถ้า $\hat{u}$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วยตามแนวบิน ค่า $w \cdot \hat{u}$ คือส่วนของลมที่พัดตามแนวบิน ซึ่งตรงกับสูตร $V cos θ$ ในโมดูล 2

ถ้าผลคูณจุดเป็นศูนย์ แปลว่าเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน

ตัวอย่างที่ 2 มุมระหว่างเวกเตอร์

$a = (3, 4)$ และ $b = (4, 3)$

$a \cdot b = 3 (4) + 4 (3) = 24$
$∥ a ∥ = ∥ b ∥ = 5$
$cos θ = 24/25 = 0.96 \Rightarrow θ \approx 16. 3^{\circ}$

ผลคูณไขว้และโมเมนต์

ผลคูณไขว้ (cross product) ใช้ได้กับเวกเตอร์สามมิติ ได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับเวกเตอร์ทั้งสอง

a \times b = a_{y} b_{z} - a_{z} b_{y} a_{z} b_{x} - a_{x} b_{z} a_{x} b_{y} - a_{y} b_{x}

ในงานโดรน ผลคูณไขว้ใช้หา โมเมนต์ หรือแรงบิดที่ทำให้โดรนหมุน ถ้าแรง $F$ กระทำที่ตำแหน่ง $r$ ห่างจากจุดศูนย์ถ่วง โมเมนต์คือ $τ = r \times F$

ตัวอย่างที่ 3 มอเตอร์หน้าเร่งแรงขับ

ใช้กรอบพิกัดตัวอากาศยานแบบ หน้า-ขวา-ลง (FRD) มอเตอร์อยู่ด้านหน้า $r = (0.25, 0, 0)$ m สร้างแรงขับขึ้นด้านบน 10 N เนื่องจากแกน D ชี้ลง แรงขึ้นจึงเป็น $F = (0, 0, - 10)$ N

τ = 0 (- 10) - 0 (0) 0 (0) - 0.25 (- 10) 0.25 (0) - 0 (0) = 0 2.5 0 N\cdotm

โมเมนต์ 2.5 N·m รอบแกนขวา (แกน y) ในทิศบวก ซึ่งตามกฎมือขวาคือการเงยหัวขึ้น ตรงกับสิ่งที่เกิดจริงเมื่อมอเตอร์ด้านหน้าหมุนเร็วกว่ามอเตอร์ด้านหลัง

เมทริกซ์

เมทริกซ์ คือตารางตัวเลขที่จัดเป็นแถวและหลัก เมทริกซ์ขนาด $m \times n$ มี $m$ แถวและ $n$ หลัก เวกเตอร์ในรูปองค์ประกอบก็คือเมทริกซ์ที่มีหลักเดียว

การคูณเมทริกซ์

เมทริกซ์ $A$ ขนาด $m \times n$ คูณกับ $B$ ขนาด $n \times p$ ได้ผลลัพธ์ขนาด $m \times p$ จำนวนหลักของ $A$ ต้องเท่ากับจำนวนแถวของ $B$ สมาชิกแต่ละตัวของผลลัพธ์ได้จากการนำ แถว ของ $A$ มาคูณกับ หลัก ของ $B$ ทีละคู่แล้วบวกกัน

เมทริกซ์ 2 คูณ 3 คูณกับ 3 คูณ 1 ได้ 2 คูณ 1 แถวแรกคูณหลักแรกได้สมาชิกตัวแรก — ภาพที่ 2 แถวของเมทริกซ์แรกคูณกับหลักของเมทริกซ์ที่สอง

[102103] 456 = [1 (4) + 2 (5) + 0 (6) 0 (4) + 1 (5) + 3 (6)] = [1423]

แนวคิดสำคัญ

การคูณเมทริกซ์ สลับที่ไม่ได้ โดยทั่วไป $A B \neq = B A$ เรื่องนี้สำคัญมากในโมดูล 4 เพราะการหมุนแกน yaw ก่อน pitch ให้ผลต่างจากการหมุน pitch ก่อน yaw

เมทริกซ์พิเศษ

เมทริกซ์เอกลักษณ์ $I$ มีเลข 1 บนเส้นทแยงมุมหลักและ 0 ที่อื่น คูณกับเมทริกซ์ใดก็ได้เมทริกซ์นั้นเหมือนเดิม
ทรานสโพส $A^{T}$ คือการสลับแถวเป็นหลัก
อินเวอร์ส $A^{- 1}$ คือเมทริกซ์ที่ทำให้ $A A^{- 1} = I$ มีได้ก็ต่อเมื่อดีเทอร์มิแนนต์ไม่เป็นศูนย์

ดีเทอร์มิแนนต์และระบบสมการ

สำหรับเมทริกซ์ $2 \times 2$

det [a c b d] = a d - b c A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} [d - c - b a]

ระบบสมการเชิงเส้นเขียนในรูปเมทริกซ์ได้ว่า $A x = b$ และหาคำตอบได้จาก $x = A^{- 1} b$

ตัวอย่างที่ 4 แบ่งกำลังให้มอเตอร์

มอเตอร์สองชุดใช้กระแสรวม 10 A และชุดแรกใช้กระแสเป็นสองเท่าของชุดที่สองลบ 2 A ให้ $x$ , $y$ เป็นกระแสของชุดแรกและชุดที่สอง

{x + y = 10 x - 2 y = - 2 \Rightarrow [11 1 - 2] [x y] = [10 - 2]

$det A = (1) (- 2) - (1) (1) = - 3$

[x y] = \frac{1}{- 3} [- 2 - 1 - 1 1] [10 - 2] = \frac{1}{- 3} [- 18 - 12] = [64]

ชุดแรกใช้ 6 A ชุดที่สองใช้ 4 A ตรวจสอบ: $6 + 4 = 10$ และ $6 - 2 (4) = - 2$ ถูกต้อง

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ระวัง

บวกขนาดของเวกเตอร์แทนการบวกเวกเตอร์ ลม 5 m/s กับความเร็ว 12 m/s ไม่ได้ให้ 17 m/s เสมอไป ขึ้นกับทิศทาง
คูณเมทริกซ์ผิดลำดับ $A B$ กับ $B A$ ต่างกัน
คูณเมทริกซ์ที่ขนาดไม่เข้ากัน จำนวนหลักของตัวหน้าต้องเท่ากับจำนวนแถวของตัวหลัง
ลืมว่าแกน D ชี้ลง แรงยกขึ้นในกรอบ NED หรือ FRD จึงมีค่าเป็นลบ

สรุป

เวกเตอร์มีทั้งขนาดและทิศทาง เขียนเป็นองค์ประกอบตามแกน และหาขนาดด้วยพีทาโกรัส
ความเร็วเทียบพื้นคือความเร็วอากาศบวกเวกเตอร์ลม
ผลคูณจุดให้สเกลาร์ ใช้หามุมและองค์ประกอบตามแนว ผลคูณไขว้ให้เวกเตอร์ ใช้หาโมเมนต์
การคูณเมทริกซ์ใช้แถวคูณหลัก และสลับที่ไม่ได้
ระบบสมการเชิงเส้นเขียนเป็น $A x = b$ และแก้ได้ด้วยอินเวอร์ส

แบบฝึกตรวจความเข้าใจ

หาขนาดของ $v = (2, 3, 6)$
โดรนมีความเร็วอากาศ $(10, 0)$ m/s ในแกน N, E ลม $(- 4, 3)$ m/s ความเร็วเทียบพื้นเท่าใด
$a = (1, 2, 2)$ และ $b = (2, - 2, 1)$ ตั้งฉากกันหรือไม่
คำนวณ $[2103] [12]$
หาดีเทอร์มิแนนต์ของ $[4321]$

เฉลย

$4 + 9 + 36 = 49 = 7$
$v_{g} = (6, 3)$ ขนาด $45 \approx 6.7$ m/s
$1 (2) + 2 (- 2) + 2 (1) = 0$ จึงตั้งฉากกัน
$(2, 7)$
$4 (1) - 2 (3) = - 2$

สรุปสูตรสำคัญ

ขนาดของเวกเตอร์	$∥ v ∥ = v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2}$
ความเร็วเทียบพื้น	$v_{g} = v_{a} + w$
ผลคูณจุด	$a \cdot b = a_{x} b_{x} + a_{y} b_{y} + a_{z} b_{z} = ∥ a ∥ ∥ b ∥ cos θ$
โมเมนต์	$τ = r \times F$
ดีเทอร์มิแนนต์ 2×2	$det [a c b d] = a d - b c$
อินเวอร์ส 2×2	$A^{- 1} = \frac{1}{a d - b c} [d - c - b a]$

แหล่งอ้างอิงหลัก

Strang, G. (2016). Introduction to linear algebra (5th ed.). Wellesley-Cambridge Press. link
Kreyszig, E. (2011). Advanced engineering mathematics (10th ed.). Wiley.
Stroud, K. A., & Booth, D. J. (2020). Engineering mathematics (8th ed.). Bloomsbury.
Beard, R. W., & McLain, T. W. (2012). Small unmanned aircraft: Theory and practice. Princeton University Press.

อ่านเพิ่มเติม

ศึกษาหน่วยความรู้ที่กำหนดล่วงหน้า ดูสื่อประกอบ และทำ quiz ประจำโมดูล

อยู่ระหว่างพัฒนาD01D06

เวกเตอร์ เมทริกซ์ และการแปลงพิกัดสำหรับอากาศยาน

เวกเตอร์ ผลคูณจุด/ไขว้ เมทริกซ์การหมุน และการแปลงระหว่างกรอบพิกัดของตัวอากาศยานกับพื้นโลก

ในชั้นเรียน / ภาคสนาม

บรรยาย อภิปรายกรณีศึกษา และแก้โจทย์ในชั้นเรียน

หลักฐานการเรียนรู้: ผล quiz และแบบฝึกหัดที่ส่ง

แบบทดสอบประจำโมดูล

แบบทดสอบนี้ใช้ตรวจความเข้าใจ (formative) ไม่ใช่การสอบเก็บคะแนน

โดเมนความรู้: คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และสถิติ · การควบคุม ออโตไพลอต และการนำทาง