โมดูล 4/5 · สัปดาห์ 10–12 · 27 ชม.

การแปลงพิกัดและกรอบอ้างอิง

DRT 111 คณิตศาสตร์ประยุกต์สำหรับเทคโนโลยี

เวลาเรียนประมาณ 90 นาทีร่าง รอตรวจปรับปรุงล่าสุด 26 กันยายน 2569

เมื่อเรียนจบโมดูลนี้ ผู้เรียนจะสามารถ

อธิบายกรอบอ้างอิง NED, ENU และกรอบตัวอากาศยาน FRD และเหตุผลที่ต้องแปลงระหว่างกัน
หมุนเวกเตอร์ในสองมิติด้วยเมทริกซ์การหมุน
เขียนเมทริกซ์การหมุนรอบแกน x, y, z และประกอบเป็นเมทริกซ์ Z-Y-X จากมุม roll, pitch, yaw
อธิบายคุณสมบัติของเมทริกซ์การหมุนและปัญหา gimbal lock
แปลงผลต่างละติจูดและลองจิจูดเป็นระยะทิศเหนือและทิศตะวันออกโดยประมาณ

ความรู้พื้นฐานที่ควรมี: DRT 111 โมดูล 2 และ 3 (ตรีโกณมิติ เวกเตอร์ และการคูณเมทริกซ์)

ทำไมต้องมีหลายกรอบอ้างอิง

ให้นึกถึงการบอกทางแก่เพื่อน ถ้าเพื่อนยืนหันหน้าไปทางใดก็ไม่รู้ คำว่า “เลี้ยวขวา” กับ “ไปทางทิศตะวันออก” อาจหมายถึงทิศเดียวกันหรือคนละทิศก็ได้ ขึ้นกับว่าเพื่อนหันหน้าไปทางไหน

โดรนเจอปัญหาเดียวกันตลอดเวลา เซนเซอร์ IMU และกล้องติดอยู่กับตัวโดรน จึงวัดค่า เทียบกับตัวโดรน แต่ภารกิจบินกำหนดตำแหน่ง เทียบกับพื้นโลก ออโตไพลอตต้องแปลงค่าระหว่างกรอบอ้างอิงหลายสิบครั้งต่อวินาที เครื่องมือที่ใช้แปลงคือ เมทริกซ์การหมุน ซึ่งต่อยอดจากเมทริกซ์ในโมดูล 3

กรอบอ้างอิงที่ใช้บ่อย

กรอบอ้างอิง (reference frame) คือชุดแกนตั้งฉากสามแกนที่มีจุดกำเนิดและทิศทางชัดเจน ในงานโดรนใช้บ่อยสามกรอบ

กรอบ	แกน x	แกน y	แกน z	ใช้ที่ไหน
NED (พื้นโลกเฉพาะที่)	เหนือ	ตะวันออก	ลง	PX4, ArduPilot, ตำราการบิน
ENU (พื้นโลกเฉพาะที่)	ตะวันออก	เหนือ	ขึ้น	ROS, GIS หลายโปรแกรม
FRD (ตัวอากาศยาน)	หน้า	ขวา	ลง	IMU, การควบคุมท่าทาง

ซ้าย กรอบ NED มีแกนเหนือชี้ขึ้นและตะวันออกชี้ขวา ขวา กรอบ FRD ติดกับโดรนที่หันหัวเฉียงจากทิศเหนือเป็นมุม psi — ภาพที่ 1 กรอบพื้นโลก NED และกรอบตัวอากาศยาน FRD มองจากด้านบน

กรอบทั้งสามเป็นแบบ มือขวา คือถ้างอนิ้วมือขวาจากแกน x ไปหาแกน y นิ้วโป้งจะชี้ไปตามแกน z การแปลงระหว่าง ENU กับ NED ทำได้ง่ายมาก คือสลับค่าเหนือกับตะวันออก แล้วกลับเครื่องหมายแกนตั้ง

(N, E, D) = (y_{ENU}, x_{ENU}, - z_{ENU})

ระวัง

ความผิดพลาดที่พบบ่อยมากในการเชื่อม ROS กับออโตไพลอตคือลืมแปลง ENU กับ NED ทำให้โดรนบินผิดทิศหรือพุ่งลงแทนที่จะไต่ขึ้น ต้องตรวจเอกสารของซอฟต์แวร์ทุกตัวว่าใช้กรอบใด

การหมุนในสองมิติ

เริ่มจากกรณีง่ายก่อน เมื่อหมุนเวกเตอร์ $(x, y)$ ทวนเข็มนาฬิกาเป็นมุม $α$ จะได้เวกเตอร์ใหม่

[x^{'} y^{'}] = [cos α sin α - sin α cos α] [x y]

ตัวอย่าง หมุน $(10, 0)$ ไป $3 0^{\circ}$ ได้ $(10 cos 3 0^{\circ}, 10 sin 3 0^{\circ}) = (8.66, 5)$ ความยาวยังเป็น 10 เท่าเดิม การหมุนเปลี่ยนแค่ทิศทาง ไม่เปลี่ยนขนาด

ใช้กับมุมหันหัว

เมื่อโดรนหันหัวทำมุม $ψ$ (yaw) จากทิศเหนือ และบินด้วยความเร็วในกรอบตัว $u$ (ไปข้างหน้า) กับ $v$ (ไปทางขวา) ความเร็วในกรอบพื้นโลกคือ

v_{N} = u cos ψ - v sin ψ v_{E} = u sin ψ + v cos ψ

ตัวอย่างที่ 1 จากกรอบตัวเป็นกรอบพื้นโลก

โดรนหันหัว $ψ = 6 0^{\circ}$ บินไปข้างหน้า 10 m/s ( $u = 10$ , $v = 0$ )

$v_{N} = 10 cos 6 0^{\circ} = 5$ m/s
$v_{E} = 10 sin 6 0^{\circ} \approx 8.66$ m/s

โดรนจึงเคลื่อนที่ขึ้นเหนือ 5 m/s และไปทางตะวันออก 8.66 m/s

การหมุนในสามมิติ

ท่าทางของอากาศยานในสามมิติบอกด้วย มุมออยเลอร์ สามมุม

Roll ( $ϕ$ ) หมุนรอบแกนหน้า ทำให้ปีกเอียง
Pitch ( $θ$ ) หมุนรอบแกนขวา ทำให้หัวเงยหรือก้ม
Yaw ( $ψ$ ) หมุนรอบแกนลง ทำให้หัวหันซ้ายขวา

การหมุนรอบแต่ละแกนมีเมทริกซ์ของตัวเอง

R_{x} (ϕ) = 100 0 cos ϕ sin ϕ 0 - sin ϕ cos ϕ R_{y} (θ) = cos θ 0 - sin θ 010 sin θ 0 cos θ R_{z} (ψ) = cos ψ sin ψ 0 - sin ψ cos ψ 0 001

ลำดับการหมุน Z-Y-X

เนื่องจากการคูณเมทริกซ์สลับที่ไม่ได้ ลำดับการหมุนจึงสำคัญ มาตรฐานในงานการบินคือลำดับ Z-Y-X เริ่มจากกรอบพื้นโลก หมุน yaw ก่อน แล้ว pitch รอบแกนใหม่ แล้ว roll รอบแกนใหม่อีกครั้ง

สามขั้น หมุนรอบแกนลงด้วย yaw แล้วรอบแกนขวาใหม่ด้วย pitch แล้วรอบแกนหน้าใหม่ด้วย roll — ภาพที่ 2 ลำดับการหมุนแบบ Z-Y-X

เมทริกซ์ที่แปลงเวกเตอร์จากกรอบตัวอากาศยานไปเป็นกรอบ NED คือ

R_{b}^{n} = R_{z} (ψ) R_{y} (θ) R_{x} (ϕ) = c_{θ} c_{ψ} c_{θ} s_{ψ} - s_{θ} s_{ϕ} s_{θ} c_{ψ} - c_{ϕ} s_{ψ} s_{ϕ} s_{θ} s_{ψ} + c_{ϕ} c_{ψ} s_{ϕ} c_{θ} c_{ϕ} s_{θ} c_{ψ} + s_{ϕ} s_{ψ} c_{ϕ} s_{θ} s_{ψ} - s_{ϕ} c_{ψ} c_{ϕ} c_{θ}

โดยเขียนย่อ $c_{θ} = cos θ$ และ $s_{θ} = sin θ$ ไม่ต้องท่องจำเมทริกซ์นี้ แต่ควรเข้าใจว่าเกิดจากการคูณเมทริกซ์สามตัวตามลำดับ

ลองเอง

เปิดหน้า สื่อ 3 มิติ แบบจำลองที่ 2 ปรับ roll, pitch และ yaw แล้วดูแกนของโดรนหมุนเทียบกับกรอบพื้นโลก เมทริกซ์ที่แสดงใต้แบบจำลองคำนวณจากสูตรข้างบนแบบเวลาจริง ลองตั้ง roll = 0, pitch = 0 แล้วเปลี่ยน yaw อย่างเดียว เมทริกซ์จะเหลือรูปแบบเดียวกับการหมุนสองมิติ

คุณสมบัติของเมทริกซ์การหมุน

เมทริกซ์การหมุนทุกตัวมีคุณสมบัติสำคัญสามข้อ

อินเวอร์สเท่ากับทรานสโพส $R^{- 1} = R^{T}$ ดังนั้นการแปลงย้อนจากกรอบพื้นโลกกลับเป็นกรอบตัวอากาศยานทำได้ง่ายมาก คือ $R_{n}^{b} = (R_{b}^{n})^{T}$
ดีเทอร์มิแนนต์เท่ากับ 1
ไม่เปลี่ยนความยาวของเวกเตอร์ เปลี่ยนเฉพาะทิศทาง

Gimbal lock

เมื่อ pitch เข้าใกล้ $\pm 9 0^{\circ}$ แกน roll กับแกน yaw จะซ้อนทับกัน มุมออยเลอร์จะแยกสองการหมุนนี้ไม่ออก ปรากฏการณ์นี้เรียกว่า gimbal lock ออโตไพลอตจริงจึงเก็บท่าทางภายในด้วย ควอเทอร์เนียน ซึ่งไม่มีปัญหานี้ แล้วแปลงเป็นมุมออยเลอร์เฉพาะเวลาแสดงผลให้คนอ่าน นักศึกษาจะได้เรียนเรื่องนี้ต่อในวิชา DRT 335

ละติจูด ลองจิจูด และระยะบนพื้นโลก

GNSS รายงานตำแหน่งเป็น ละติจูด ( $φ$ ) ลองจิจูด ( $λ$ ) และ ความสูงเหนือทรงรี ( $h$ ) ตามระบบ WGS 84 ซึ่งจำลองโลกเป็นทรงรีที่มีรัศมีที่เส้นศูนย์สูตร $a = 6378137$ m และค่าความแบน $1/ f = 298.257 223563$

สำหรับระยะสั้น ๆ ไม่เกินไม่กี่กิโลเมตร เราประมาณพื้นโลกเป็นทรงกลมรัศมี $R_{e} \approx 6371000$ m แล้วแปลงผลต่างมุม (เป็นเรเดียน) เป็นระยะได้

Δ N \approx R_{e} Δ φ Δ E \approx R_{e} cos φ Δ λ

ต้องคูณ $cos φ$ ในแกนตะวันออก เพราะเส้นลองจิจูดบีบเข้าหากันเมื่อเข้าใกล้ขั้วโลก

ตัวอย่างที่ 2 ระยะของ 0.001 องศาแถวรังสิต

มหาวิทยาลัยรังสิตอยู่ที่ละติจูดประมาณ $1 4^{\circ}$ เหนือ

$0.00 1^{\circ} = 0.001 \times π /180 = 1.745 \times 1 0^{- 5}$ rad
$Δ N = 6371000 \times 1.745 \times 1 0^{- 5} \approx 111.2$ m
$Δ E = 111.2 \times cos 1 4^{\circ} = 111.2 \times 0.970 \approx 107.9$ m

ตัวเลขนี้ช่วยตรวจความสมเหตุสมผลได้เร็ว ถ้า waypoint ต่างกันในทศนิยมตำแหน่งที่สามของละติจูด ระยะจะอยู่ในหลักร้อยเมตร

ข้อผิดพลาดที่พบบ่อย

ระวัง

ปนกรอบ NED กับ ENU ตรวจเสมอว่าซอฟต์แวร์แต่ละตัวใช้กรอบใด
คูณเมทริกซ์การหมุนผิดลำดับ ลำดับ Z-Y-X ให้ผลต่างจาก X-Y-Z
ใช้ $R$ แทน $R^{T}$ ตอนแปลงย้อนกลับ
ลืม $cos φ$ ในการคำนวณระยะทิศตะวันออก
ใช้การประมาณทรงกลมกับระยะไกล สำหรับหลายสิบกิโลเมตรขึ้นไปควรใช้สูตรทรงรีหรือไลบรารีภูมิสารสนเทศ

สรุป

เซนเซอร์วัดในกรอบตัวอากาศยาน (FRD) การนำทางใช้กรอบพื้นโลก (NED หรือ ENU) จึงต้องแปลงด้วยเมทริกซ์การหมุน
ENU กับ NED ต่างกันที่การสลับแกนเหนือกับตะวันออก และกลับเครื่องหมายแกนตั้ง
ท่าทางบอกด้วย roll, pitch, yaw และประกอบเป็นเมทริกซ์ตามลำดับ Z-Y-X
เมทริกซ์การหมุนมี $R^{- 1} = R^{T}$ และไม่เปลี่ยนความยาวเวกเตอร์
gimbal lock เกิดที่ pitch $\pm 9 0^{\circ}$ ออโตไพลอตจึงใช้ควอเทอร์เนียนภายใน
ผลต่างละติจูดและลองจิจูดแปลงเป็นระยะได้โดยประมาณด้วย $R_{e} Δ φ$ และ $R_{e} cos φ Δ λ$

แบบฝึกตรวจความเข้าใจ

จุด $(E, N, U) = (30, 40, 20)$ ในกรอบ ENU เขียนในกรอบ NED ได้อย่างไร
หมุนเวกเตอร์ $(0, 5)$ ทวนเข็มนาฬิกา $9 0^{\circ}$ ได้อะไร
โดรนหันหัว $ψ = 9 0^{\circ}$ บินไปข้างหน้า 8 m/s ความเร็ว $v_{N}$ และ $v_{E}$ เท่าใด
ถ้า $R_{b}^{n}$ เป็นเมทริกซ์การหมุนจากกรอบตัวไปกรอบพื้นโลก เมทริกซ์ที่แปลงกลับคืออะไร
ที่ละติจูด $6 0^{\circ}$ ลองจิจูดต่างกัน $0.00 1^{\circ}$ คิดเป็นระยะทางทิศตะวันออกประมาณเท่าใด

เฉลย

$(N, E, D) = (40, 30, - 20)$
$(- 5, 0)$
$v_{N} = 8 cos 9 0^{\circ} = 0$ และ $v_{E} = 8 sin 9 0^{\circ} = 8$ m/s (บินไปทางตะวันออก)
$(R_{b}^{n})^{T}$
$111.2 \times cos 6 0^{\circ} \approx 55.6$ m

สรุปสูตรสำคัญ

หมุนสองมิติ	$R (α) = [cos α sin α - sin α cos α]$
ความเร็วตัวอากาศยานเป็น N, E	$v_{N} = u cos ψ - v sin ψ, v_{E} = u sin ψ + v cos ψ$
เมทริกซ์ Z-Y-X	$R_{b}^{n} = R_{z} (ψ) R_{y} (θ) R_{x} (ϕ)$
คุณสมบัติการหมุน	$R^{- 1} = R^{T}, det R = 1$
ผลต่างพิกัดเป็นระยะ	$Δ N \approx R_{e} Δ φ, Δ E \approx R_{e} cos φ Δ λ$

แหล่งอ้างอิงหลัก

Beard, R. W., & McLain, T. W. (2012). Small unmanned aircraft: Theory and practice. Princeton University Press.
Diebel, J. (2006). Representing attitude: Euler angles, unit quaternions, and rotation vectors. Stanford University. link
National Geospatial-Intelligence Agency. (2014). Department of Defense World Geodetic System 1984: Its definition and relationships with local geodetic systems (NGA.STND.0036_1.0.0_WGS84). link
Groves, P. D. (2013). Principles of GNSS, inertial, and multisensor integrated navigation systems (2nd ed.). Artech House.
PX4 Autopilot. PX4 user and developer guide. link

อ่านเพิ่มเติม

ศึกษาหน่วยความรู้ที่กำหนดล่วงหน้า ดูสื่อประกอบ และทำ quiz ประจำโมดูล

อยู่ระหว่างพัฒนาD01D06

เวกเตอร์ เมทริกซ์ และการแปลงพิกัดสำหรับอากาศยาน

เวกเตอร์ ผลคูณจุด/ไขว้ เมทริกซ์การหมุน และการแปลงระหว่างกรอบพิกัดของตัวอากาศยานกับพื้นโลก

พร้อมใช้D13

พิกัดและระดับความสูงของแผนที่

เลือก CRS หน่วย และระดับอ้างอิงให้ถูกก่อนรวมข้อมูล

ในชั้นเรียน / ภาคสนาม

บรรยาย อภิปรายกรณีศึกษา และแก้โจทย์ในชั้นเรียน

หลักฐานการเรียนรู้: ผล quiz และแบบฝึกหัดที่ส่ง

แบบทดสอบประจำโมดูล

แบบทดสอบนี้ใช้ตรวจความเข้าใจ (formative) ไม่ใช่การสอบเก็บคะแนน

โดเมนความรู้: คณิตศาสตร์ ฟิสิกส์ และสถิติ · การควบคุม ออโตไพลอต และการนำทาง · การสำรวจ ทำแผนที่ และภูมิสารสนเทศ